9.5. УМЕНЬШЕНИЕ СЛУЧАЙНЫХ ФЛЮКТУАЦИЙ В РАСПРЕДЕЛЕНИЯХ

9.5.1. Этап 7. Устранение нулевых частот. Для устранения нулевых частот можно вычислять частоту по следующей формуле Г2001:

Основные свойства каждого из распределений при этом сохраняются.

Если в диапазоне, где одна из вероятностей (частот) равна нулю, отношение вероятностей Р (хц/АіУР (хц/А2) равно нулю или бесконечности, а его логарифм, именуемый ДБ, равен ±оо, то рекомендуется следующее. Когда хотя бы в одном из соседних диапазонов ДБ достаточно отличается от ±оо, в рассматриваемом диапазоне ДБ заменяют величинами с абсолютным значением от 2 до 4 (знак остается неизменным); когда в обоих соседних диапазонах ДБ равен или близок к ±оо, в рассматриваемом диапазоне ДБ заменяют величинами с абсолютным значением от 3 до 9.

Выбор большего или меньшего абсолютного значения из названных зависит от следующих обстоятельств: чем больше число наблюдений второй выборки в диапазоне, где первая выборка имеет нулевую частоту, и чем ближе отношения вероятностей в соседних диапазонах к ± оо, тем больше по абсолютной величине должен быть выбираемый ДБ. На краю распределений имеет также значение величина ДБ в диапазоне, расположенном центральнеє: необходимо, чтобы она была не менее чем на единицу меньше по абсолютному значению, чем ДБ в рассматриваемом диапазоне, если нулевые диапазоны идут подряд.

Величины 2, 4, 6 и 9 при замене ДБ = ± оо являются предпочтительными, так как соответствуют превышению вероятности одного состояния над вероятностью другого в «круглое» число раз: в 3, 6, 20 и 50. Кроме того, величины 4, 6 и 9 являются при округлении ДБ с точностью до единицы предпороговыми для принятия решения с заданной вероятностью ошибки не более ю % 5 % и 1 %. Нежелательно, чтобы решение с такой надежностью принималось на основании одного признака. По этим же соображениям нигде величина ДБ не должна превышать 9 (за исключением случая сочетания очень большого числа наблюдений и высоких диагностических порогов).

Примеры, иллюстрирующие все эти правила, рассмотрены в гл. 10.

При вычислении ДБ с преобразованием ДБ = ± оо по формуле (9.12) желательна последующая коррекция, особенно на краях распределений.

Надо отметить, что часто производят укрупнение диапазонов «на глаз». Например, можно стремиться во всех случаях выделять не более 8 — 12 диапазонов [47]. Некоторые исследователи считают удобным иметь во всех признаках по 4 диапазона [63, 148]. По-видимому, более строгие методы, описанные в подразделах 9.4 и 9.5, все же предпочтительнее.

9.5.2. Этап 8. Аппроксимация эмпирических распределений известными теоретическими является наиболее корректным способом сглаживания, однако он трудоемок и не всегда приводит к отысканию аппроксимирующего известного распределения. Применение этого метода для аппроксимации эмпирического распределения нормальным (что применяется чаще) или другим теоретическим при ПА рассмотрено в [47]. Здесь мы его не рассматриваем, хотя практически используем и рекомендуем.

Аппроксимации должна предшествовать оценка соответствия эмпирического распределения теоретическому.

Аппроксимация производится тем теоретическим распределением, от которого эмпирическое не отличается статистически значимо по критерию X Колмогорова — Смирнова. Обоснование такого подхода дано в [47].

9.5.3. Этап 9. Вычисление степени расхождения эмпирического и нормального распределений.

После проведения вычислений по оценке значимости отличий эмпирического распределения от теоретического (например, нормального) по алгоритму Колмогорова — Смирнова легко вычислить и величину расхождения эмпирического и теоретического распределения по следующей формуле [47]:

большом числе наблюдений небольшие отличия эмпирического распределения от теоретического, даже если они статистически значимы, могут не препятствовать аппроксимации первого вторым. По-видимому, вообще при рассмотрении вопроса о возможности аппроксимации данного эмпирического распределения теоретическим нужно исходить из того, что четкого формального решения он не имеет и его необходимо решать с учетом как формальных данных (достоверности и величины расхождений эмпирического и теоретического распределений), так и ряда неформальных соображений.

9.6. НЕПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ КРИТЕРИИ СТАТИСТИЧЕСКОЙ ЗНАЧИМОСТИ РАЗЛИЧИЙ ДВУХ ВЫБОРОК

Сравнивая две выборки, можно высказать предположение: выборки принадлежат к одной генеральной совокупности и, значит, различия между ними случайны.

Если вероятность этого мала (р не превышает 0,05), то наблюдаемые различия считаются неслучайными. Некоторые случаи, когда р не должно превышать 0,025, чтобы различия были признаны неслучайными, рассмотрены ниже в подразделе 9.6.1.

Следует учитывать, что в большинстве диагностических исследований недостаточно оценить только значимость различий двух выборок. Главной является оценка степени (величины) различий. Этот вопрос рассмотрен в разделе 9.3.

9.6.1. Этап 10. Выбор одностороннего или двустороннего критерия. Уровень значимости р = 0,05 или меньше считается достаточно малым, чтобы признать различия между выборками значимыми при так называемом одностороннем критерии.

Односторонние критерии рассчитаны на случай, когда проверяемая гипотеза, по отношению к альтернативной, формулируется так: «Генеральное среднее (щ) наблюдаемого признака для одной выборки не больше, чем для другой

Например, нас интересует, увеличивает ли лечебное средство число выживших животных в опыте. Если не увеличивает, то мы его отвергаем независимо от того, дает оно нулевой или отрицательный эффект.

Если проверяемая гипотеза формулируется иначе: «Генеральное среднее наблюдаемого признака для одной выборки равно генеральному среднему для другой выборки: |і! = \і2» (альтернатива: ф р2)> то применяются двусторонние критерии или односторонние, но уровень значимости ошибочного принятия нулевой гипотезы понижается вдвое: р — 0,025 или менее.

При проверяемой гипотезе Рі = \і2 целесообразно, если это возможно, учесть также фактический характер влияния исследуемого фактора на рассматриваемый признак. Это влияние также может быть двусторонним: в части наблюдений увеличение, в другой части — уменьшение значения рассматриваемого признака. Для ориентировки в этом вопросе на основе анализа самих выборок можно использовать оценку расхождения распределений, описанную в подразделе 9.4.1. При этом о двустороннем отличии можно думать, если существуют разности накопленных частот с противоположными знаками, т. е. максимальная разность больше нуля, а минимальная разность накопленных частот меньше нуля и особенно если она статистически значимо меньше нуля.

9.6.2. Применение непараметрических критериев. В большинстве медицинских исследований для оценки существенности различий используют главным образом параметрический критерий t Стьюдента, основанный на предположении, что сравниваемые выборки принадлежат к нормальным распределениям.

Непараметрические критерии при распределениях, далеких от нормального, позволяют обнаружить существенные различия тогда, когда критерий t их не выявляет. При распределениях, близких к нормальному, непараметрические критерии также дают хороший результат, хотя и уступающий в этом случае критерию t. Наконец, привлекательной особенностью этих критериев является небольшая трудоемкость при их вычислении с помощью микрокалькулятора. В связи с этими преимуществами непараметрические критерии различий в последнее время получают все большее применение в биологии и медицине [10, 56, 82, 152, 187, 188, 190].

В пропаганде непараметрических критериев различий двух выборок автор участвует уже давно [47, 56]. В этой книге проблема непараметрического подхода к оценке значимости различий двух выборок рассмотрена с позиций распознавания. Круг используемых методов существенно сужен. Достаточно полно непараметрические критерии рассмотрены в [47, 56], где представлены 8 критериев для 4 различных случаев: 1) связанных (парных) выборок; 2) независимых выборок, когда оцениваются различия в средних тенденциях; 3) для оценки любых различий распределений либо 4) альтернативных различий, т. е. различий в распределениях, имеющих только две градации (бинарных).

Здесь мы рассматриваем только два критерия: X и ср. В сочетании алгоритмы вычисления этих двух критериев позволяют оценить величину значимости любых различий распределений в сгруппированном или несгруппированном ряду, найти оптимальное укрупнение их диапазонов и оценить более мощным критерием ф различия распределений после этого (см. раздел 9.7).

9.6.3. Критерий X Колмогорова-Смирнова предложен А. Н. Колмогоровым [197] для оценки значимости различий эмпирического и теоретического распределений и А.

Пример применения критерия X Колмогорова — Смирнова х,— температура тела в градусах. Частоты даны в процентах

применяется как для той, так и для другой цели [127]. Применение этого критерия особенно удобно, когда речь идет об одновременной оценке значимости и величины расхождения распределений. Приводим методику применения критерия X в изложении Н. А. Плохинского (1970) [127] на примере, который аналогичен использованному им и представляет собой сгруппированные ряды, имеющие 8 диапазонов.

У детей с ОРВИ, к которым были вызваны педиатрические бригады СП, врачи бригад, в частности, измеряли температуру тела. В столбцах Л2 табл. 9.2 представлены данные о детях с УС, впоследствии госпитализированных в РО. В столбцах — данные о детях без УС, которые были госпитализированы в СО детских больниц. Из табл. 9.2 понятен ход вычислений разностей накопленных частот (столбец 9) и нахождения максимального модуля (абсолютного значения) этой разности по формуле:

где ІѴі — численность наблюдений в диапазонах, а щ — во всей выборке N2 и п2 — то же для А2. Максимальный модуль разности должен быть дан в этой формуле в долях единицы, а не в процентах. Соответственно в рассмотренном примере:

минимальная разность накопленных частот равна нулю, что позволяет считать отличия односторонними (см. подраздел 9.6.1) и пользоваться односторонним критерием, равным 1/2 двустороннего: р = 0,097/2 = 0,048. Следовательно, различия статистически значимы: температура тела у детей второй группы выше, чем первой.

В примере, представленном в табл. 9.2, критерий t также выявляет значимые различия средних (pt < 0,05).

В табл. 9.2 представлен пример вычисления X по сгруппированному ряду. Аналогично может быть построена расчетная таблица для несгруппированного ряда. При этом температура тела в каждом наблюдении будет считаться отдельной градацией признака «температура». Точность нахождения AF(xt)mах при этом будет наибольшей.

9.6.4. Точное вычисление значимости различий долей (процентов) по критерию ф (углового преобразования Фишера) [127, 141, 152, 188] предназначено для оценки различий в размерах долей двух выборок, в которых зарегистрирован интересующий нас эффект. Этот метод не имеет ограничений по численности выборок. В случае сравнения численных переменных (например, число дыханий) их необходимо перевести в бинарные, вычислив долю (обычно в процентах) наблюдений с рассматриваемым эффектом (например, с дыханием чаще 30 в минуту).

Принцип метода состоит в следующем. Если мы оцениваем частоту эффекта, принимающего только два значения («есть» и «нет»), то проценты сами по себе имеют распределение, отличающееся от нормального. Оно становится близким к нормальному, если процент Р заменить величиной:

где Р — процент, выраженный в долях единицы. Величину ф необходимо вычислить в радианах на инженерном микрокалькуляторе или определить по приложению 3.

Величина ф имеет следующие преимущества перед долей, выраженной в процентах: 1) поскольку распределение ф относительно близко к нормальному, мы получаем возможность использовать параметрические методы, предназначенные для нормальных распределений; 2) с помощью ф легко вычислить доверительные интервалы процентов, что при использовании других непараметрических методов невозможно [152, 188].

Рассмотрим методику оценки значимости различий долей (процентов) по методу ф. Зная разность двух величин фх и ф2 в сравниваемых выборках (фі всегда большая из двух величин) и объемы выборок nt и п2, можно вычислить соответствующий им аргумент нормального распределения ир:

по которому, используя приложение 4, определить статистическую значимость различий р для одностороннего критерия, а если метод используется при оценке различий в форме распределений, то для двустороннего критерия (см., например, рис. 9.3).

В примере, рассмотренном в табл. 9.2, показано, что среди 87 детей с УС (группа А2) у 47,1% температура тела не превышала 39 °С. Среди 59 детей без угрожающего состояния (группа At) у 67,8% температура тела не превышала 39 °С. Определим, можно ли считать, что в более тяжелой группе А2 температура тела не выше 39 °С наблюдалась реже, чем в группе Ах. Найдем по приложению 3 величины ф, соответствующие 47,1 % и 67,8 %, и выпишем все исходные данные:

Подставив их в формулу (9.17), получим значение аргумента нормального распределения ир:

По известной величине ир с помощью приложения 4 определяем, что рф = 0,006 для одностороннего критерия и р9 = 0,012 для двустороннего. Различия статистически значимы: температура тела не выше 39°С у детей с УС (Л2) встречалась реже, чем в более легкой группе Аѵ

Применение к этому же случаю ТКФ [47] дает близкий результат: рТКФ = = 0,007 (для одностороннего критерия).

Применение в подобном случае (см. табл. 9.2) критерия X для малых п при сравнении эмпирического и теоретического распределений (приложение 2) дает результат, близкий к полученному с помощью метода ср. При таком использовании приложения 2 мы условно считаем распределение с большим п теоретическим, а с меньшим п — эмпирическим.

Формально нет препятствий для применения метода ф в случае, когда доля наблюдений в одной из выборок равна нулю. Однако вычисление рф в этом случае, по-видимому, дает завышенный результат. Можно рекомендовать в тех случаях, когда доля (число) наблюдений с исследуемым эффектом в одной из выборок равна нулю, заменять нулевую долю какой-то малой долей, которая, например, в 10 раз меньше доли без эффекта.

9.6.5. Применение метода ф для определения доверительных границ долей (процентов). Доли (проценты) имеют доверительный интервал, зависящий от числа наблюдений. Например, если мы обнаружили, что у 1 больного из 20 наблюдался летальный исход, то можем ли мы утверждать: частота летального исхода равна Рли = 5 %. Метод ф позволяет вычислить 95 % доверительный интервал для этого значения Р. Использование метода ф с этой целью описано в ряде руководств [127, 152, 188].