Спектральный и временной подходы к решению обратных волновых задач

Распространение акустических волн в пространственнонеоднородной среде можно описать волновым уравнением Дйя зву-1 нового давления [4, 8]:

Подставив это выражение в (5) получаем уравнение Гельмголь- ца для пространственного распределения амплитуды [4, 8]:

где волновое число в общем случае есть комплексная функция координат:

Обратная задача состоит в определении А(г) по известному в некоторой области волновому полю p(r,t).

При этом двумерная задача, соответствующая наклонному падению плоской волны на слой неоднородной среды (рис. 4) можно свести к задаче от одной переменной. Действительно, тангенциальная составляющая волнового вектора постоянна:

и подстановкам (6)

Таким образов, уравнение (10) аналогично уравнению.Шредингера [2, 8, 9]:

с граничными условиями при x = Lu,L (рис. 4 а).

Рис. 4. Сфуктура волнового поля при падении плоской волны на неоднородшя слой в спектральном (а) и временном (б) представлении

При спектральном подходе решение (12) представляет собой обратную задачу Штурма-Лиувилля [1, 2, 9] - восстановление потенциальной функции Q(x) по собственным значениям уравнения (12). Эти собственные значения определяются в соответствии с (10),

(11) частотой и углом падения волны.

что и является искомым решением обратной задачи. Исходная функция для обратной задачи С (со) может быть как непрерывной, так и дискретной, например, восстановление неоднородности скорости звука с(.ѵ) может проводиться по набору частот соп, соответствующих образованию стоячих волн в слое и резонансным значениям коэффициента отражения (рис. 4 а).

Временной подход к решению волновых задач (в т. ч. и обратных), в практических приложениях чаще всего соответствует импульсному зондированию среды (рис. 4 б). Пусть волновое поле в Неоднородном слое L0 < х < L описывается следующим волновым Уравнением [4, 10]:

Распространяющийся в среде импульс в виде Ѳ -функции испытывает многократные отражения от границ слоя с амплитудой, определяемой коэффициентами отражения (21), а его временная задержка связана с временем распространения между границами т0 и временной задержкой между границей слоя и текущей координатой

Таким образом, исходными данными для решения обратной задачи могут служить коэффициенты отражения Ro, Rt. а также временные задержки тх. Действительно, если рассматривать среду как набор бесконечно малых слоев с постоянным значением скорости звука в каждом слое, то коэффициент отражения от слоя (амплитуда отраженной волны) будет определять градиент скорости звука, а временная задержка - расстояние до отражающего слоя (рис. 4 б). Однако это справедливо лишь в приближении однократного рассеяния, когда можно пренебречь вторичными переотражениями от границ неоднородного слоя и учитывать лишь первые два члена в (20).

Рассмотрим как решение уравнений (5, 20) может быть связано с решением задач томографии (2, 4). Пусть плотность среды однородна ( р(х) = const), тогда волновое уравнение (20) для гармонической волны сводится к уравнению Гельмгольца:

Здесь коэффициент при квадрате волнового числа описывает неоднородность среды и определяется пространственными изменениями скорости звука:

Осуществим в (25),следующую подстановку:

тогда для функции t//(.r) вместо линейного дифференциального уравнения второго порядка (25) получим нелинейное уравнение первого порядка, которое носит название уравнения Риккати [4, 10]:

Таким образом, для нахождения волнового поля внутри неоднородного слоя и(к,х) достаточно знать поле и(к,Ь0) на границе и решение уравнения Риккати (28). С другой стороны, после интегрирования (29) по частоте волны (волновому числу к) это уравнение становится аналогичным задаче эмиссионной томографии (4). Если, решая (29), по левой части удается найти подынтегральную функцию у/(х), то пространственная функция неоднородности є(х) выражается через нее из (28) в явном виде.

3.