Математические аспекты томографии и ультразвукового зондирования

Рассмотрим основные особенности задачи КТ на примере трансмиссионной томографии.

Ограничимся задачей на плоскости - когда пространственная структура объекта описывается функцией двух координат, а ее восстановление производится по набору функций (проекций) от одной переменной.

Пусть плоский пучок рентгеновских лучей с интенсивностью /0 проходит через объект (см. рис. 1) в плоскости (X,Y). Пусть 5{у) - коэффициент затухания излучения в объекте. Интенсивность прошедшего излучения в плоскости регистрации имеет зависимость I - І(х), поскольку по сечению пучка меняется длина L(x) прохо-

Рис. 1. Схема трансмиссионной томографии

ждения через поглощающую среду. Предположим, что коэффициент затухания в объекте постоянен: 8(у) = с>„ = const.

Тогда простейшей задачей томографии (обратной задачей) является получение формы объекта и значения 8д по функции І(х).

При прохождении малого слоя поглощающей среды Ду изменение интенсивности излучения пропорционально толщине этого слоя и коэффициент затухания:

Если проинтегрировать (1) по вертикальной координате вдоль каждого из лучей, составляющих поперечное сечение пучка, получим изображение объекта в плоскости регистрации:

Выражение (2) составляет основу трансмиссионной томографии: по известной функции Р(х) необходимо получить функцию д(у) ■ При S(y) = S0 = const интегрирование (2) дает :

Даже в этом простейшем случае решение задачи возможно только при определенных условиях: для получения формы объекта (функции L(x)) необходимо знать значение коэффициента затухания, или, наоборот, для нахождения коэффициента затухания необходимо знать форму объекта.

Развитие методов решения обратных задач представляет собой большой раздел современной математической физики и дискретной математики. В практических приложениях такие теоретические исследования позволяют создавать оптимальные схемы сканирования для различных видов томографии [6, 14]

Кроме рассмотренной нами трансмиссионной томографии широкое распространение получила эмиссионная томография. Она используется в ядерной медицине, оптической и радиотеплолока- ции (радиометрии) [5, 14]. Отличие эмиссионной томографии состоит в том, что она представляет собой типичный пример пассивных измерений - для восстановления информации об объекте используется его собственное излучение (рентгеновское, оптическое, СВЧ) [5, 14].

где а - текущая координата источника излучения, F{x,a) - искомая функция пространственной плотности распределения источников, Ь(х,а) - описывает каждый луч, вдоль которого распространяется излучение и интегрирование по нему производится до текущей координаты источника а . В общем случае коэффициент поглощения 5(у) - неизвестная функция, которая также требует восстановления. Если считать 8{у) пренебрежимо малой величиной (затухание отсутствует), то мы приходим в (4)к линейному интегралу, который ничем не отличается от задачи (2).

Рис 2 Отличие эхо-импульсного от томографического метода зондирования

Акустическая томография (АТ) основана на решении обратных задач рассеяния и рефракции.

Отличие акустической томографии от традиционного эхо-импульсного (радиолокационного) метода ультразвукового зондирования схематически показано на рис. 2.

В обоих случаях предполагается угловое сканирование объекта, однако для восстановления его структуры методом томографии необходим пространственно-разнесенный прием акустических сигналов. Чаще всего в АТ используется приближение геометрической оптики (лучевое приближение) При этом источником информации о среде является не коэффициент затухания, а скорость распространения звука. Обратные задачи рассеяния и рефракции с физической точки зрения отличаются лишь характером неоднородности и используемыми приближениями (рис. 3).

Неоднородность среды при распространении волны любой природы вдоль направления ѵ определяется изменением в пространстве

Рис і Основные варианты рассеяния волн в неоднородной среде

где со - циклическая частота, а с(л) - скорость распространения волны.

шей через неоднородность волны практически не уменьшается, и при импульсном зондировании пространственное положение каждой последующей неоднородности регистрируется в слабом отраженном сигнале в зависимости от времени прихода отраженной волны в приемник. Такое приближение называется в теории волн приближением Борна, или однократного рассеяния [2, 4, 8]. При эхоимпульсном методе зондирования в большинстве случаев используется именно это приближение. В противоположном случае ( ДА' / к » 1) волна не распространяется в глубь исследуемого объекта и задачей волнового зондирования может быть получение информации о форме его границ, а не внутренней структуре. Разрешение зондирующих, и, в частности, ультразвуковых устройств, увеличивается с частотой со. При этом для ультразвуковых волн с увеличением частоты увеличивается и коэффициент затухания 8 к со' [13], что принципиально ограничивает пространственный диапазон работы ультразвуковых устройств.

В случае плавно-неоднородной среды, когда размеры неоднородности значительно превышают длину волны ((gradk( « к , см.

рис. 3), отраженный сигнал может практически отсутствовать, и для решения обратных задач используются принципы рефракционной томографии. В таких задачах интегрируется фаза волновых сигналов вдоль лучей (траекторий) распространения волны. Лучи при этом представляют собой кривые, форма которых зависит от скорости (коэффициента преломления) среды. Этот коэффициент преломления и является искомой величиной, пространственное распределение которой необходимо восстановить. Исходными данными в таких задачах являются временные задержки (фаза) волновых сигналов, распространяющихся вдоль различных лучей, или углы прихода лучей в различные точки пространства. Методы рефракционной томографии получили широкое распространение в сейсмологии (для исследования земной коры), физике атмосферы (для восстановления высотных атмосферных показателей при ее просвечивании в оптическом или радиодиапазоне), океанологии (для восстановления профилей плотности, солености, температуры в глубине Мирового океана по условиям распространения звуковых волн) [3, 15, 19, 21, 22].

Рассмотрим два основных теоретических подхода к решению обратных волновых задач.

2.