Лучевое и ВКБ приближения в обратных задачах

Проанализируем возможности рефракционной томографии на примере редкой задачи, которая имеет аналитическое решение и не требует использования сложных численных методов.

Геометрия задачи показана на рис.

Рис 5 Траектории лучей в слоистонеоднородной среде с показателем преломления =

Возможный профиль показателя преломления и ход лучей показан на рисунке. Если показатель преломления в целом растет при г > 0, то лучи загибаются и возвращаются в плоскость : = 0 на некотором расстоянии л-. Глубина проникновения волны в неоднородную среду (верхняя точка траектории луча) зависит как от профиля показателя преломления, так и от начального угла Ѳ0.

В приближении геометрической оптики, для плоскослоистой среды уравнение эйконала выражает закон преломления Снеллиуса. Запишем его в следующем виде [4, 8]:

Выражение (30) соответствует постоянному значению горизонтальной составляющей волнового вектора (кх = к0п cos Ѳ = const) для каждого из лучей. Из (30) можно вывести уравнение траектории луча:

Интегрирование (31) дает:

Поскольку траектория луча для плоскослоистой среды симметрична относительно максимума, (32) окончательно принимает вид:

где подынтегральная функция Х(р) представляет собой дробь с радикалом в знаменателе, соответствующим (34), (37).

Прежде всего, отметим, что для использования обращения Абеля необходимо, чтобы в исходном интеграле (34), (36) верхний пре-

дел интегрирования определялся «точкой поворота», т. е. зависел от рабочего параметра, в данном случае - от горизонтальной составляющей волнового числа. В постановке задачи томографии при «просвечивании» среды, когда структура объекта восстанавливается по прошедшему сквозь него сигналу (см. формулу (2)), пределы интегрирования конечны и определяются границами объекта. Физический смысл использования (38) состоит, таким образом, в восстановлении неоднородности по отраженному волновому полю. С другой стороны, после интегрирования (38) мы получили разность :(є) - z0(e), т. е. изменение скорости звука в пространстве, а не сам профиль скорости. Сама форма функции e(z) остается неопределенной, т. е. можно подобрать любое количество профилей с одинаковой зависимостью Х(р). Многозначность исчезает, если потребовать симметричности профиля, или если одна из ветвей s(z) известна. Как раз такой случай и рассмотрен нами при решении обратной задачи рефракции (9). Одной из «стенок» волновода в этом случае является граница слоисто-неоднородной среды с = 0. Это и есть априорная информация, определяющая условие корректности поставленной задачи.

Таким образом, на примере решения обратной задачи рефракции в волноводе мы показали возможности акустической томографии. То, что для слоистой среды такую задачу удается решить аналитически (получить в явном виде искомую функцию неоднородности среды от измеряемых параметров) является, скорее, исключением из правил.

Заключение

В настоящее время существует огромное разнообразие подходов к восстановлению внутренней структуры объекта, и постоянно появляются новые. Это связано с тем, что, несмотря на достаточно развитые томографические методы, невозможно выделить какой- нибудь определенный тип изображения, который содержал бы всю информацию, необходимую для полного определения внутренних характеристик исследуемой среды.

Таким образом, несмотря на уже развитые томографические методы, существует потребность не только в разработке новых методов исследования внутренней структуры сред, обладающих новыми возможностями за счет более точного учета эффектов взаимодействия излучения с веществом, но н в более эффективных математических методах и алгоритмах решения задач интерпретации результатов томографических измерений.

Литература

1. Гельфанд II.М., Левитан Б.М. Об определении дифференциального уравнения по его спектральной функции. Изв. АН, сер. матем., 1951. Т. 15. С. 309-360.

2. Агранович 3 С., Марченко В.А. Обратная задача теории рассеяния. Харьков: Изд-во Харьк. ун-та, 1960.

3. Татарский В.И. О возможной точности определения плотности атмосферы по измерениям фазы и угла рефракции с ИСЗ // Изв. АН СССР. ФАО. 1968. Т. 4. №8. С. 811.

4. Бреховских Л.М Волны в слоистых средах. М: Наука, 1973.

5. Козлов В.П. Математические вопросы обращения радиационных данных В кн.: Инверсия Абеля и ее обобщение. 1978. С. 131-139.

6. Виноградова М.Б., Руденко О В, Сухоруков А.П. Теория волн. М.: Наука. 1979.383 с.

7. Тихонов А.Н, Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1979. 286 с.

8. Мюллер Р.К., Кавех М., Уэйд Г. Реконструктивная томография и ее применение к ультразвуковой технике // ТИИЭР, 1979. Т. 67, № 4. С. 146-169.

9. Левитан Б.М. Обратные задачи Штурма-Лиувилля. М.: Наука, 1984.

10. Кляцкин В.И. Метод погружения в теории распространения волн. М.: Наука, 1986. 256 с.

11. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я., Тимонов А.А. Математические задачи компьютерной томографии. М.: Наука, 1987.

12. Hertel Р., Mender HP Improved Inverse WKB Procedure to Reconstruct Refractive Index Profiles of Dielectric Planar Waveguides // Appl. Phys. 1987.VoI. В 44. P. 75-80.

13. Бугров А.Г., Кляцкин В.И. Метод погружения в решении обратных волновых задач в слоистых средах // Іізв. ВУЗов, Радиофизика, 1989. Т. 32, № 3. С 321- 330.

14. Наттсрер Ф. Математические аспекты компьютерной томографии- Пеп г англ. М.: Мир, 1990. 288 с.

15. Волков А.В., Латышев К.В.. Спавутский Л.А., Шевцов Б М., Шишкарев A-А. Восстановление характеристик тропосферного волновода по пространственному ослаблению радиосигналов: теория и эксперимент // Изв. АН СССР. ФАО. 1991 Т. 27, № 8. С. 825-829.

16. Кляцкин В.И., Кошель КВ., Шевцов Б.М. О решении обратных волновых задач для слоистых сред // Изв. АН, ФАО, 1995. Т. 31, № 4. С. 517-525.

17. Латышев К.В., Славутский Л.А. Восстановление профиля открытого волновода по спектру нормальных волн // Изв. Вузов. Радиофизика. 1991. Т. 34, №4. С. 476-480.

18. Славутский Л.А. Ультразвуковые методы диагностики и контроля в энергетике. В кн.: Информационные технологии в электротехнике и электроэнергетике // Материалы Ш-й всеросс. конф. Чебоксары, 2000, С. 89-93.

19. Munk W., Wunsch С. Ocean acoustic tomography: Rays and modes // Rev. Geophys. Space Phys. 1983. Vol. 21. P. 777-793.

20. Smith PR., Hopcraft K.I., Burde R.E. A novel method for determining dielectric unhomogenety from scattered electromagnetic radiation // Inv. Probl. 1988. № 4. P. 235.

21. Volkov A.V., Koshel K.V., Lap’shev K.V., Slavutsky L.A., Shevtsov B.M., Shish- karev A.A. Reconstruction of evaporation duct profile from spatial structure of the radar backscatter from the sea surface // IEEE Symp/AP-91, Digest, V. 2, 1991, Canada. P. 1024-1027.

22. Slavutsky> L.A. WKB - approximation for inverse problem of radiowaves refraction // URSI-S on EM Theory proc., 1992, Australia. P. 404-407.

Н. Э. Косых, В.Ю. Немцов, С. 3. Савин, Н.А. Чушкин