ОЦЕНКА ВЕЛИЧИНЫ (СТЕПЕНИ) РАЗЛИЧИЙ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ D(x,)

Используем понятие степени или величины различий распределений D (xf), понимая под этим долю наблюдений, которая отличает опыт от контроля. Будем ее называть расхождением распределений.

Рассмотрим, как влияет численность наблюдений на характер вывода и достоверность различий на примере бинарных признаков. При сравнении двух выборок численностью по 4 наблюдения вывод о повышении величины параметра достоверен по ТКФ только в том случае, если в опыте повышение в сравнении с каким-то уровнем хи наблюдалось во всех 4 случаях, а в контроле — ни в одном. Иначе говоря, частота повышений величины исследуемого параметра для достоверного вывода о ее повышении должна составлять в опыте 100%, а в контроле — 0 (табл. 9.1). При увеличении численности выборок разница в частоте наблюдаемого эффекта в опыте и в контроле, достаточная для достоверного вывода о различиях между опытом и контролем, стремительно убывает (см. табл. 9.1).

Знание не только достоверности, но и величины различий распределений важно во многих медико-биологических исследованиях для обоснования выводов. Действительно, удовлетворит ли исследователя лечебный комплекс, который в среднем достоверно уменьшит длительность лечения, но этот эффект проявится у 55% больных, а у остальных 45 % его не будет? Еще менее пригоден подход, основанный на оценке достоверности различий, в диагностических исследованиях. Ясно, что симптом Хф который при состоянии Ах встречается в 55%, а при состоянии А2 — в 45% случаев, даже если эти различия достоверны, позволит при его использовании для диагностики давать правильный ответ «Состояние Ах» лишь в 55%. Именно величина (степень), а не достоверность различий распределений может служить критерием диагностической информативности одномерных признаков. Все это более или менее ясно для бинарных признаков, рассмотренных в табл. 9.1. Другие случаи рассмотрены ниже.

Таблица 9.1

Зависимость от объема выборки степени различий альтернативных распределений при одинаковой значимости этих различий (р = 0,05)

* Расчет произведен по методу (хи) в зоне прироста

где 5 — номера диапазонов зоны прироста, в которых D (хи) положительны (на рис. 9.2 они обозначены точками).

Тот же результат, что и при использовании формулы (9.2), мы получим, если ВЫЧИСЛИМ полусумму абсолютных значений (модулей) всех Dfoj) во всех диапазонах:

Здесь и далее, когда речь идет о распределении или о частоте или вероятности признака х* при состоянии А1 (или Аг\ применяется сокращенная формулировка «распределение Аі» (или А2) либо «частота или вероятность наблюдения А{» (или А2).

Рис. 9.2. Простейшая оценка одностороннего расхождения распределений по их площади. Случайные флюктуации полностью учитываются.

а — 100% > D(Xi) > 0; б — Л(х,) = 0; в — D(x4) = 100%; d — граница между укрупненными диапазонами; jc/(1) — первый укрупненный диапазон, в котором преобладает частота наблюдений Ах\ х;-(2) —второй укрупненный диапазон, в котором преобладает частота наблюдений А2.

Рис. 9.1. Площадь D(x,) как мера расхождения распределений А у и Л2.

Общая площадь распределений А у и Л2 заштрихована. Необщая площадь распределения А у обозначена точками. Сплошная ломаная линия — накопленные частоты А у, прерывистая ломаная линия — накопленные частоты А2. Стрелками обозначена максимальная разность

накопленных частот, численно равная необщей площади распределения А і-

поскольку расхождения в «зоне прироста» и «зоне убыли» равны, но имеют противоположный знак. При простом суммировании их сумма равна нулю, а при суммировании модулей равна удвоенному £>(х,). Ее половина равна £>(х,).

Соответственно во всех диапазонах может быть вычислена величина, равная модулю полуразности вероятностей состояний А1 и Л2 в каждом диапазоне. Это и есть для каждого диапазона та величина, суммирование которой по

формуле (9.3) дает расхождение распределений для признака в целом. Назовем ее расхождением градации признака d(xu). Она равна:

Она отражает степень расхождения вероятностей состояний А1 и Л2 в данном диапазоне признака xf в пользу того состояния, которое в этом диапазоне преобладает, и равна модулю полуразности этих вероятностей.

Простое суммирование величин сІ(хи) при вычислении D(Xi), как показано в формуле (9.3), удобнее в вычислительном плане, чем суммирование величин Ь(х^) в «зоне прироста» [формула (9.2)]. Численно же формулы (9.2) и (9.3) дают идентичный результат.

Как видно из рис. 9.2, величины D (xis), суммируясь, обусловливают возрастание разности накопленных частот AF (х0). Эта разность увеличивается с каждым диапазоном на величину очередного Z)(x/S), достигает максимума к концу зоны прироста и начинает убывать в зоне убыли расхождения распределений, где, как следует из формулы (9.1), величина Ь(х^) отрицательна. Максимальная величина разности накопленных частот AF (хи)тах численно, как следует из этого описания (рис. 9.2), равна D(xt):