НЕКОТОРЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ ЛУЧЕВОЙ ДИАГНОСТИКИ

В настоящее время проблема исследования широкого класса объектов выдвигается как одна из основных в различных областях науки и медицины. На ранних этапах своего развития эта проблема решалась методами интроскопии при диагностике изделий и спектроскопии при исследовании состава объектов.

Современная томография для получения информации использует излучение самой различной физической природы. Это ультразвук, радио и оптические сигналы, рентгеновские и гамма-лучи, различные корпускулярные излучения, электронные пучки, магнитные поля, сейсмические и акустические волны и т. д. Для каждого вида излучения характерны свои специфические особенности, которые проявляются в постановке томографического эксперимента и в его аппаратной реализации. Однако та информация (проекционные данные), которая получается в процессе этих томографических экспериментов, и с которой оперирует исследователь при восстановлении изображения, может быть описана очень похожими математическими зависимостями.

Слово «томография» происходит от греческого слова «тодост» - долька, тонкий срез. С математической точки зрения под томографией подразумевается численное восстановление функции по ее линейным или плоскостным интегралам, или восстановление структуры пространственного объекта по его проекциям [6, 11, 14].

Наибольшее развитие томографические методы получили для рентгеновского излучения. В 1896 г. Рентген создал свой первый аппарат.

В рентгенодиагностике используется один из многих вариантов томографии - трансмиссионная компьютерная томография (КТ). Суть метода состоит в том, что тонкий пучок рентгеновских лучей сканирует сечение тела (возможно, под разными углами), изменение интенсивности прошедших через тело лучей фиксируется и обрабатывается на компьютере для восстановления пространственной структуры.

При создании компьютерного томографа стремятся к тому, чтобы он обладал возможно более высокой разрешающей способностью. Достичь этого удается с одной стороны, совершенствуя его конструкцию, а с другой - используя эффективные методы и алгоритмы решения математических задач интерпретации результатов томографических измерений.

Кроме этого типа томографии аналогичные задачи, - задачи восстановления неоднородности среды по структуре волнового поля (обратные задачи), - используются в самых разных областях: сейсмологии, океанологии, неразрушающем контроле, ультразвуковой медицинской диагностике и т. д. [3, 6, 14, 15].

Другим широко известным видом томографии является томография, основанная на эффекте ядерно-магнитного резонанса (ЯМР- томография). В отличие от рентгеновской ЯМР-визуализация обеспечивается исключительно электронными средствами и основана на взаимодействий небольших, быстро меняющихся магнитных полей со слабо связанными ядрами водорода в мягких тканях тела. Кроме того, несмотря на отдельные попытки реконструкции трехмерного изображения, рентгеновский метод является методом получения двумерного изображения. Для метода ядерно-магнитного резонанса, напротив, трехмерность изображения заложена в самой его основе. Здесь можно по выбору регистрировать данные от всего трехмерного объекта, либо только от одного его среза.

Также одним из методов реконструктивной томографии является ультразвуковая томография. Она заключается в том, что ультразвуковые волны обладают уникальным свойством, которое в настоящее время широко используются в медицине; они не являются электромагнитными.

Методы рентгеновской, ультразвуковой и ЯМР-томографии широко применяются в медицине, но они не совершенны. Для устранения недостатков развивается метод СВЧ-томографии. Во-первых, СВЧ-излучение менее вредно для живых организмов по сравнению с рентгеновским. Во-вторых, СВЧ-излучение наиболее песрспективно для диагностики патологий на ранней стадии их развития. Дело в том, что с изменением водосодержания тканей при заболевании сильнее всего изменяется их диэлектрическая проницаемость. Часто плотность вещества еще не успевает измениться, а диэлектрическая проницаемость здоровых и патологических тканей уже заметно контрастирует.

Основная причина, препятствующая развитию микроволновой томографии, заключается в трудностях интерпретации измеряемых искажений параметров излучения при его взаимодействии с неоднородными средами. Исследования показывают, что при прохождении микроволнового излучения, например, через биологические ткани оказываются существенными эффекты многократного взаимодействия волн (рассеяния, поглощения, отражения, дифракции, деполяризации и т. д.). В случае, когда характерные размеры неоднородностей соизмеримы с длинами волн используемого излучения (а в данном диапазоне это условие почти всегда выполняется) теория многократного взаимодействия достаточно сложна для описания процесса распространения излучения в исследуемой среде, что не дает возможности решить обратную задачу восстановления структуры распределения неоднородностей.

Говоря о методах, нельзя не отметить метод оптической томографии. Этим методом исследуются те объекты, которые вызывают модуляцию зондирующего их излучения оптического диапазона. При этом модуляции может быть подвержена любая из характеристик монохроматической световой волны - амплитуда, фаза, вектор поляризации. Таким образом, методами оптической томографии можно исследовать самые разнообразные параметры объектов и процессов. Однако диапазон изменения этих параметров ограничен. Дело в том, что в настоящее время наиболее развиты алгоритмы восстановления томограмм по прямолинейным проекциям, т. е. траектории зондирующих лучей внутри объекта можно считать прямыми линиями.

Для каждого вида излучения характерны свои специфические особенности, которые проявляются в постановке томографического эксперимента и в его аппаратной реализации. Однако та информация (проекционные данные), которая получается в процессе этих томографических экспериментов и с которой оперирует исследователь при восстановлении изображения, может быть описана очень похожими математическими зависимостями.

Рассмотренная классификация томографических методов исследования внутренней структуры основана на уравнении распространения поля в объекте, количестве регистрируемой информации и виде системы реконструкции томограмм. Она обладает тем достоинством, что позволяет, во-первых, использовать достижения томографии, полученные при различных видах воздействия, во-вторых, проследить весь путь построения томографической системы от анализа взаимодействия излучения с веществом до конкретного устройства восстановления томограмм и, в-третьих, увидеть другие возможные направления применений томографических принципов для восстановления полей разнообразных величин, характеризующих объект.

Именно это обстоятельство позволяет говорить о томографии как о целом направлении в области обработки информации, и, абстрагируясь (на некотором уровне анализа) от конкретного вида излучения, сформулировать основную проблему томографии - как по получаемым в томографическом эксперименте проекционным данным «увидеть» внутреннюю структуру анализируемого объекта.

С точки зрения математической общности фундаментом томографии является интегральная геометрия, основы которой были заложены в работах И. Радона в 1917 г., а затем в начале 1960-х гг. развиты в трудах И.М. Гельфанда и его школы. Предмет изучения интегральной геометрии составляет преобразование функций, заданных на одних геометрических объектах, к функциям, заданным на других геометрических объектах. Например, переход от функций, определенных на плоскости, к функциям на прямых, осуществляется интегрированием исходной функции по каким-либо поверхностям в области ее задания. Данное преобразование во многом напоминает проецирование, и иногда полученную функцию называют проекцией. Этот раздел математики имеет широкое применение. Одним из таких применений впоследствии стала томография, основанная на решении обратной задачи интегральной геометрии - восстановлении многомерных функций по их интегральным характеристикам. Но методы решения обратных задач, которые практически всегда являются некорректными, не были еще достаточно развиты. Наиболее полно они были разработаны А.Н. Тихоновым в 1960-х гг., а применительно к обратным задачам интегральной геометрии - М.М. Лаврентьевым и его учениками. Аналогично исследованиями занимались и зарубежные ученые, среди которых можно выделить А. Кор- мака. Таким образом, в конце 1960-х-начале 1970-х гг. была создана прочная математическая основа для появления томографических систем.

1.