Существование и сходимость приближенного решения

Приближенным решением уравнения (2.1) назовем элемент пространства Ц\і, удовлетворяющий операторному уравнению

которое в покомпонентной записи представляет собой систему линейных алгебраических уравнений

ОТНОСИДедьно составляющих вектора qh, где

Решение системы (2.13) существует и единственно при любой правой части в силу положительной определенности матрицы этой системы.

Продолжим функцию Дл) с области Q на некоторую замкнутую поверхность Г таким образом, чтобы вне области Q функция Д х) принимала нулевые значения. Множество узлов сетки поверхности Г будет состоять из узлов сетки на области Q и квазиравномерной сетки по остальной поверхности. Это позволит применить для доказательства сходимости приближенного решения qh системы (2.14) к точному решению уравнения (2.1) теорему о сходимости метода, доказанную в [6] для случая, когда интегральное уравнение решается на замкнутой ограниченной поверхности.

Теорема 1. Пусть для любого элемента bheUh выполняется неравенство

где ДО - положительная константа, не зависящая от N и q, qh - принадлежащее НО(Г) точное и удовлетворяющее системе (23.13), приближенное решения уравнения (2.1). Тогда справедливы неравенства

где С - положительная константа, не зависящая от q и /;.

Таким образом, в силу теоремы 1 приближенное решение cyh системы (2.14) сходится к точному решению уравнения (2.1).

Заключение

В ходе работы были исследованы наиболее используемые на практике методы обратной проекции и обратной проекции с фильтрацией, на примерах восстановления различных объектов проведен сравнительный анализ их особенностей, достоинств и недостатков.

Достоинствами метода обратной проекции с модификациями является его простота и высокая скорость восстановления объектов, основанная на применении БПФ.

К недостаткам метода относятся потеря точности при восстановлении объектов, размеры которых соизмеримы с размерами исследуемой области, а также появление неустойчивости при определении высокочастотных составляющих решения на сетках с большим числом узлов дискретизации (N=128 и выше). Модификация метода с применением фильтрации высокочастотных составляющих решения устойчиво работает на сетках с любым числом узлов, но при этом снижается точность определения этих составляющих.

Данный метод достаточно хорошо определяет границы объекта, но его не желательно использовать для восстановления его характеристик (например, высоты «цилиндра»).

В качестве возможной альтернативы этим методам был рассмотрен новый метод прямого обращения преобразования Радона, основанный на прямом численном методе отыскания обобщенного решения интегрального уравнения I рода со слабой особенностью в ядре, в котором для аппроксимации исходной задачи системой линейных уравнений используются функции ошибок.

Он удобен для реализации на ЭВМ, поскольку приводит к системам, коэффициенты которых легко записываются в виде простых математических выражений и легко вычисляются. Дискретизированная задача является сходящейся и устойчивой.

Тестирование данного метода показало, что, несмотря на простоту, он обладает высокой точностью. При этом на сетках, когда N