Источники и характеристики волновых процессов в биотехнических системах

Большинство процессов, анализ которых дает основной объем диагностической информации, имеют колебательный характер. В технике это механические, электромагнитные и другие виды колебаний.

В системах с гомеостазом выделяют собственные (резонансные) колебания и колебания подсистемы регулирования, работа которой основана на принципе обратной связи. В живых системах выделяют множество подсистем регулирования, которые являются источником вынужденных колебаний для колебательных систем нижнего уровня. Вынужденные колебания проявляются в основном в виде модуляции (амплитудной и/или частотной) собственных колебаний. В результате сигналы приобретают сложную форму, характеризуемую совокупностью различных колебательных составляющих, отличающихся по амплитуде, фазе, частоте. Математическим аппаратом, с помощью которого эти составляющие могут быть выделены, является преобразование Фурье. Формально дискретное преобразование Фурье легко реализуется для отсчетов квазипериодических сигналов современными компьютерами. Однако большинство квазипериодических сигналов имеют очень сложную структуру, что характеризуется сплошным спектром, из которого весьма сложно выделить те гармоники, которые являются информативными даже для идентификации одного и того же объекта.

Квазипериодические сигналы, являющиеся носителями информации в биомедицинских системах, могут быть классифицированы по источнику квазипериодичности: амплитудной, связанной с искажением формы волны, и частотной, связанной с изменением периода квазипериодического сигнала. В большинстве известных сигналах присутствует и тот, и другой вид квазипериодичности.

По форме волны квазипериодические сигналы делят на хорошо структурированные в пространстве сигналов, на хорошо структурированные в пространстве частот (сигналы с дискретным спектром), плохо структурированные сигналы и зашумленные сигналы.

Хорошо структурированные сигналы - это такие сигналы, которые могут быть сегментированы внутри квазипериода. Под сегментацией здесь понимается процессы основанные на критериях локального сходства или других визуальных признаках [60, 64] .

В плохо структурированных сигналах не могут быть выделены элементарные ячейки внутри сегмента. Это кривая изменения заболеваемости, демографические кривые, данные, связанные с сезонными ритмами, сигнал пульса, реосигнал, фонокардиосигнал (ФКС), допплерэхокардиосигнал (ДПЭКС). Эпюры квазипериодических сигналов некоторых типов представлены на рисунке

б)

Рисунок 1.6 - Эпюры квазипериодических сигналов (слева) и их спектров (справа): сигнал с трендом (а); сигнал, хорошо структурированный в пространстве сигналов (б); сигнал, хорошо структурированный в пространстве частот (в); частотно модулированный сигнал

Выделить скрытые периодичности в квазипериодическом сигнале весьма сложно без априорных данных о его спектральном составе. Например, модель простейшего сигнала со скрытой периодичностью (частота 0,1 Гц) может быть представлена следующим уравнением:

F(t) = A1∙ COS(ωt) + A2 ∙ COS(3ωt)∙(1+0,5∙ sin(gt)), (1.1)

где А1, А2 - амплитуды 1 и 3-й гармоник;

ω - частота основной гармоники (ведущий циклический процесс); 3 ω - частота третьей гармоники сигнала; sin (gt) - процесс (скрытый), модулирующий пятую

30 гармонику ведущего циклического процесса, а g частота модулирующего процесса (в примере она равна 0,1 Гц).

Рисунок 1.6 - Тестовый сигнал (1.1) а) и его спектр б)

Анализируя спектр тестового сигнала, показанный на рис. 4.2 б, можно видеть, что скрытая периодичность 0,1 Гц маскируется гармониками основной частоты.

Рисунок 1.7 - Сигнал со скрытыми периодичностями (а) и его спектр (б)

Таким образом, мы имеем класс сигналов, спектральный анализ которых не позволяет надежно обнаружить в них скрытые периодичности. В тоже время, в таких сигналах присутствуют ритмы, которые мы назвали ведущими, которые легко обнаруживаются путем известных методов анализа и препарирования данных. Поэтому необходимо найти представление квазипериодических сигналов со скрытыми периодичностями, которое позволит воспользоваться этим положительным свойством таких сигналов.

Известна классификация системных ритмов, основанная на структурно­функциональных уровнях организации, в которой предполагается, что период ритма не может быть жестко фиксированным и колеблется около определенного среднего интервала времени. В предложенной классификации имеет место иерархия ритмов, например для живых систем: ритмы молекулярного уровня, клеточного уровня, организменного уровня (циркадианные или околосуточные ритмы) и т.д.

Учитывая синхронность ритмов в сложной системе, можно из всего множества ритмов выделить ведущий ритм и остальные ритмы измерять в единицах, равных периоду ведущего ритма. Например, если в качестве ведущего ритма выбрать ритм нижнего иерархического уровня, то все другие ритмы,

32 находящиеся на более высоком иерархическом уровне относительно этого ритма, можно измерять в периодах этого ритма - в индивидуальном времени.

Чтобы структурировать квазипериодический сигнал X согласно модели иерархических ритмов, необходимо представить его в виде множества векторов одного из иерархических уровнейчисло элементов в которых определяется параметромгде верхний индекс a_iопределяет кратность повторения цикла λ₁. Таким образом, на самом нижнем иерархическом уровне элементарное действие - это цикл дискретизации сигнала. В результате выполнения этих элементарных действий на нижнем уровне синтезируется ведущий ритм, то есть ритм, которому почти кратны ритмы, находящиеся на верхних иерархических уровнях. В случае идеального периодического процесса - ведущий ритм - это самая высокая гармоника, присутствующая в сигнале, которая не фильтруется (пропускается) системой.

Если параметры λ_kопределяют число повторений процедур, стоящих в теле k-го цикла кратности a_i,а в качестве ведущего ритма выбран циклический процесс, дискретизируемый с равномерным шагом дискретизации Δt, то длина L_n вектора X определяется как где верхние индексы a_iопределяют кратность повторения цикла (і-1)-го уровня. Если λ_i≠var (процесс периодический), то L_nопределяется согласно известного уравнения

Если структура вектора x₁определяет ведущий цикл, то переход к векторно- множественной модели сигнала определяется векторомФормально

эта задача состоит в том, чтобы из множества отсчетов Х получить упорядоченное множествовекторов в общем случае неодинаковой длины

причем любой вектор xii из m является подмножеством Х, следовательно

Любые два вектора x_1iи x₁j из m создаются в одном и том же теле цикла, но в не перекрывающиеся моменты времени, следовательно, являются непересекающимися, то есть

Разность множеств Х и m не является пустым множеством, то есть

Утверждение (1.6) связано с тем, что выбор первого отсчета множества Х не совпадает с началом ведущего цикла.

Процесс получения векторно-множественной модели, описываемой уравнениями (1.4), (1.5), и (1.6), описывают сегментацию квазипериодического сигнала, в результате которой получаем опорную область сигнала, показанную на рисунке 1.8. Ее форма и границы зависят от параметров сигнала, следовательно, от времени, поэтому ее называют динамической. По горизонтальной координате этой области масштаб измеряется в секундах, а по вертикальной - в системном

времени - отсчетах периодов ведущего цикла, согласно модели рисунок 1.8 в длинах векторов x_1i. Если процесс периодический, то длина вектора x₁не меняется со временем и все векторы множества m имеют одинаковую длину. При этом, за счет эффекта стробоскопирования, каждый отсчет вектора x_1iрасположен на динамической плоскости строго под (над) соответствующим отсчетом смежного вектора, то есть векторов xχ(i-i) и xχ(i₊i). Это значит, что «медленные волны», то есть ритмы, которые формируют циклы высшей иерархии будут отображаться по вертикальной координате в двумерном пространстве динамической опорной области и могут быть выделены путем спектрального анализа сигнала по вертикальной координате, то есть путем перехода к двумерной частотной плоскости.

Рисунок 1.8 - Динамическая опорная область R (а) и динамическая опорная область R с выделенными интервалами дискретизации (б)

Однако известные алгоритмы двумерного спектрального преобразования позволяют определить двумерный спектр только на прямоугольной опорной области [60, 63, 64, 65, 66].

Непосредственно опорную область, показанную на рис. 4.6, получить из опорной области, показанной на рис. 4.5 не представляется возможным по той причине, что опорная область рис. 4.5 получена при равномерном шаге дискретизации, а на рис. 4.6 представлена опорная область с неравномерным шагом дискретизации (результат интерполяции) по координате t₁(по координате t₂шаг дискретизации тоже может быть неравномерен, что связано с возможной частотной модуляцией ведущего ритма). Выбрать адаптивный шаг дискретизации также не представляется возможным, так как о его величине мы можем судить только после выделения квазипериода, то есть апостериорно.

Нетрудно увидеть, что динамическая опорная область типа рис. 4.6 легко получается из прямоугольной опорной области путем последовательного выполнения над циклами во временной области операций масштабирования и/или сдвига. Если динамическая опорная область получена в результате изменения масштаба времени от цикла к циклу, то на основании теоремы подобия это приводит к адекватному изменению масштаба в спектральной области при одномерном спектральном преобразовании по первой координате динамической опорной области, а это, в свою очередь, может быть учтено при выполнении этого преобразования.

Для класса временной квазипериодичности характерно периодическое изменение длительности квазипериода, что приводит к необходимости применения алгоритмов выравнивания длин квазипериодов для получения эквивалентных друг другу мгновенных спектров процесса. Большинство квазипериодических процессов имеют временную квазипериодичность. Оценка значимости временной квазипериодичности процесса в информативном плане весьма важна при выборе способов выравнивания длин квазипериодов.

Таким образом, под матрицей разложения по собственным ритмам понимается векторно-множественный континуум спектральных коэффициентов, полученный в результате ортогонального разложения сигнала на нестационарных отрезках, длина которых определяется периодом осцилляции одного из системных ритмов.

На рисунке 1.9 показана матрица разложение по собственным ритмам электрокардиосигнала в случае, когда среди возможных причин нестационарности отрезка ортогональности оставлена только одна системная

частота 0,1 Гц.

Рисунок 1.9 - Матрица собственных ритмов (в качестве собственных ритмов используется квазипериод электрокардиосигнала) при наличии только одной системной волны 0,1 Гц (координаты по частоте ω в отсчетах)

Этого можно добиться посредством настройки регуляторных систем артериального давления в резонанс системной частоты 0,1 Гц посредством функциональной пробы с управляемым дыханием.

Для того чтобы осуществить двумерное спектральное преобразование матрицы собственных ритмов, необходимо, чтобы исходный сигнал был представлен в виде матрицы, а не вектора. В реальном случае, при наличии частотной модуляции, мы будем иметь в каждой строке сигнала, представленного на динамической опорной последовательности отсчетов не равной длины (под длиной последовательности мы понимаем число отсчетов в ней), что затрудняет получение двумерного спектра изображения. Следовательно, перед его определением необходимо каждую числовую последовательность, формирующую сегмент (строку) на динамической опорной области, подвергнуть некоторому преобразованию, в результате которого мы получим строки равной длины в информационном смысле эквивалентные исходным строкам. Иначе говоря, если положить, что частотная модуляция изменяет только масштаб времени, в котором реализуются ведущие ритмы, то мы должны найти такое линейное преобразование на интервале квазипериода, в результате которого все микропроцессы будут реализоваться в одних и тех же временных координатах.

Изображение двумерной матрицы, полученное путем сегментации реограммы и выравнивание длин сегментов одним из методов показано на рисунке 1.10.

Рисунок 1.10 - Полутоновое изображение исходного сигнала после выравнивания длин квазипериодов

Для анализа квазипериодических модулированных сигналов очень удобно применять аппарат двумерных спектральных плоскостей, построение которых подробно описано в [64]. Пример двумерной спектральной плоскости здорового человека приведен на рисунке 1.11, б. На этой плоскости видны модуляционные процессы, связанные с дыханием, с частотой около 0.24 Гц, а также модуляции в окрестности частоты 0.5 Гц, которые отражают регуляцию сердечной деятельности вегетативной нервной системой и являются так называемым «ритмом 2Т», о котором упоминается, например, в [20].

Рисунок 1.11 - ЭКГ и соответствующая ей двумерная амплитудная спектральная плоскость Фурье здорового человека

На рисунке 1.12 представлена ЭКГ с экстрасистолическим ритмом по типу тригеминии, возникающим из-за ранней постдеполяризации. Особенностью этой патологии является то, что ее проявления в виде экстрасистол выражены только при брадикардии. При нормальном или учащенном ритме экстрасистолию зарегистрировать не удается. У данного больного днем наблюдался нормальный синусовый ритм с приступами тахикардии.

Рисунок 1.12 - ЭКГ и соответствующая ей двумерная амплитудная спектральная плоскость Фурье человека с экстрасистолическим ритмом по типу тригеминии

Регистрация ЭКГ с физической нагрузкой, естественно, никаких результатов не дали. Больному был назначен круглосуточный холтеровский мониторинг. Только ночью, когда частота сердечных сокращений снизилась, удалось зарегистрировать частые желудочковые экстрасистолические возбуждения с ритмом по типу тригеминии. На двумерной спектральной плоскости этот ритм с частотой около 0.4 Гц резко выделяется над остальными процессами.

Двумерное частотное разложение двумерной матрицы (рисунок 1.10) позволяет обнаружить частоты экстрасистолических ритмов в «нормальной» ЭКГ, то есть до наступления экстрасистолии. Результат приведен на рисунке 1.13. ЭКГ, изображенная на рисунке 1.13,а, практически не отличается от нормальной ЭКГ (рисунок 1.11,а). Однако на спектральной плоскости, кроме процессов, которые регистрируются и в норме, присутствует модулирующая частота, которая характерна для экстрасистолического ритма (отмечена стрелкой на рисунке 1.13,б).

Рисунок 1.13 - ЭКГ и соответствующая ей двумерная амплитудная спектральная плоскость Фурье человека с экстрасистолическим ритмом по типу тригеминии до

появления экстрасистол

Таким образом, исследуя системные ритмы посредством многомерного спектрального анализа кардиосигнала, можно поставить диагноз о возможности появления экстрасистолических ритмов даже при отсутствии непосредственных электрокардиографических проявлений. Следует отметить, что для осуществления многомерного спектрального анализа необходимо проводить исследование ЭКГ в течение 2-10 минут. Предлагаемый метод может в некоторых случаях дать предварительные экспресс-результаты, по ценности подобные длительному холтеровскому мониторингу.

1.5