Формула Радона

В этом разделе будут приведены точные решения уравнений компьютерной томографии для простейшего двумерного случая.

Введем вспомогательную функцию:

и проинтегрируем левую и правую часть данной формулы по С, в пределах от 0 до со

Напомним, что в соответствии с введенными ранее обозначениями угловые скобки, в которые заключены аргументы функции ц означают, что эта функция вычисляется в точках прямой на плоскости Оху, с уравнением:

(параметры Ѳ и Е, фиксированы).

Вспоминая определение проекциир(Ѳ, %), видим, что:

При выводе этой формулы учтено то обстоятельство, что при интегрировании проекции по углу Ѳ возникает удвоенный интеграл от коэффициента линейного поглощения по всей плоскости, поскольку каждый луч проходится дважды.

С другой стороны, рассматривая формулы:

вытекающие из (1.3)—(1.4). как замену переменных в интеграле (2.33), приходим к следующему выражению для величины 1(4):

Перейдем в интеграле (1.33) к полярной системе координат:

Решение данного уравнения известно и может быть представлено в виде:

Данное решение применительно к задаче восстановления функции по интегралам от данной функции по всем возможным прямым на плоскости было впервые получено Радоном [8]. Формула (1.38) дает решение в точке (0,0), решение в любой другой точке получается путем переноса начала координат в данную точку.