Построение модели классификации с применениемдискриминантного анализа

Как было отмечено в предыдущем параграфе, поскольку классы заданы не­большим количеством объектов и имеют признаковые описания, для построения модели классификации наиболее приемлемым видится применением подхода, ос­нованного на статистической классификации, который также называют дискрими­нантным анализом.

Алгоритм дискриминантного анализа рассматривает многомерное простран­ство признаков изучаемых объектов, при этом отличительной особенностью дан­ногоподхода является формирование правила, которое в наибольшей степени от­ражает различия между группами объектов и с применением которого новые объ­екты совокупности относятся к одному из существующих классов. Для формирова­ния данного правила применён канонический дискриминантный анализ, результа­том которого является дискриминантная функция, которая имеет вид [192]: где X= (x₁,..., x_n ) - вектор значений дискриминантных переменных;

f (x) = Σ

^a_rX

+ c

•>

(3.2)

A = (a₁,..., a_n) - вектор коэффициентов дискриминантной функции;

n- количество рассматриваемых переменных;

с - свободный член (константа).

Одной из главных трудностей дискриминантного анализа является выбор вида дискриминантной функции, а также дискриминантных переменных, наилуч­шим образом разделяющих рассматриваемые множества.

При проведении дискриминантного анализа должны выполняться следую­щие требования [191, 198]:

1) численное представление дискриминантных переменных;

2) линейная независимость дискриминантных переменных и статистическая значимость различия их значений;

3) нормальное распределение разделяемой на классы многомерной вели­чины;

4) число объектов наблюдения должно превышать число дискриминантных переменных, как минимум, на два.

С целью определения дискриминантной функции, которая позволила бы мак­симально разделить рассматриваемые группы объектов с минимальной ошибкой классификации, рассмотрен набор дискриминантных переменных. Поскольку, как было описано в главе 1, нарушения микроциркуляторного русла в первую очередь проявляются в сбое функционирования регуляторных механизмов микрососудов, расстройствах микроциркуляции крови и в архитектурной дезорганизации микро­сосудов, для выявления данных нарушений, что также подтверждено результатами экспериментальных исследований на этапе обоснования принципа получения диа­гностической информации (Глава 2), наиболее приемлемым и достаточным ви­дится применение метода ЛДФ. Поэтому в качестве x₁... х_п рассмотрены измерен­ные и рассчитанные параметры ЛДФ-сигналов в БТ1, БТ2 и БТ3, которые удовле-

136 творяют принципам статистической независимости и значимости различий значе­ний в исследуемых группах, которая была подтверждена на этапе обоснования принципа получения диагностической информации (Глава 2).

В качестве χприменялся показатель микроциркуляции крови (I_m), в качестве х₂- максимальная амплитуда колебаний периферического кровотока в одном из частотных диапазонов (эндотелиальном (А_э), нейрогенном (А_н), миогенном (А_м), дыхательном (Ад) и сердечном (А_с)), рассчитываемая из вейвлет-анализа ЛДФ-сиг- налов. Проверка гипотезы о законе распределения многомерной величины с при­менением непараметрического критерия Колмогорова-Смирнова [198] подтвер­дила соответствие случайного значения каждой из дискриминантных переменных внутри рассматриваемых групп нормальному закону распределения.

Исходные матрицы переменных для 1-й и 2-й групп имели вид:

где p₁, p₂- количество объектов в 1-й и 2-й группах, при этом p₁- 32, p₂- 60.

Коэффициенты дискриминантной функции α₁... вычислялись по формуле: где- векторы средних значений дискриминантных переменных в 1 -й и

2-й группах;

А* - совместная ковариационная матрица;

А*¹ - матрица, обратная совместной ковариационной матрице.

Установлено, что переменные в группах X₁и Х₂ для уровня значимости α=0,05 описываются бинормальным распределением с параметрами вектора средних значе­ний дискриминантных переменныхи параметрами рассеяния σ₁, σ₂и р. Для

бинормального распределения матрица ковариаций вычисляется как [197]:

(3.5)

Совместная ковариационная матрица У. при этом вычислялась как сумма ковариационных матриц для первой и второй групп.

Свободный член в (3.2), определяющий границу, которая разделяет в частном случае две рассматриваемые группы, рассчитывался по формуле:

Был произведен расчёт вектора коэффициентов дискриминантной функции и её свободного члена для каждой из комбинаций дискриминантных коэффициентов, определён вид дискриминантной функции.

В таблице 3.1 представлены векторы средних значений дискриминантных пе­ременныхи параметры рассеяния σ₁, σ₂и р для исследуемых групп.

Таблица 3.1 - Векторы средних значений дискриминантных переменных

и параметры рассеяния σ₁, σ₂и р для исследуемых групп

Продолжение таблицы 3.1

Рассчитанные матрицы ковариаций для контрольной и основной групп и мат­рица, обратная совместной ковариационной матрице, полученные для комбинации дискриминантных переменных, представлены в таблице 3.2.

Таблица 3.2 - Матрицы ковариаций для контрольной и основной групп и мат-

рица, обратная совместной ковариационной матрице

В таблице 3.3 представлены рассчитанный вектор коэффициентов, свобод­ный член, а также общий вид дискриминантной функции, полученные для комби­нации дискриминантных переменных исследуемых групп.

Таблица 3.3 - Вектор коэффициентов А, свободный член cи общий вид дис­

криминантной функции

С применением выбранного подхода (канонического дискриминантного ана­лиза) для набора дискриминантных переменных определён общий вид дискрими­нантных функций, на которых будет базироваться итоговая модель классификации.

3.3